• เรขาคณิตคืออะไร?
• ประวัติเรขาคณิต
• วัตถุประสงค์ของการศึกษาเรขาคณิต
• ประเภทเรขาคณิต

เราอธิบายว่าเรขาคณิตคืออะไร ประวัติและวัตถุประสงค์ของการศึกษา นอกจากนี้ลักษณะของเรขาคณิตแต่ละประเภท

เรขาคณิตเป็นรากฐานของสาขาวิชาต่างๆ และช่วยเสริมด้านอื่นๆ อีกมากมาย

เรขาคณิตคืออะไร?

เรขาคณิต (จากภาษากรีก ภูมิศาสตร์, "ที่ดิน" และ เมตร, “การวัด”) เป็นหนึ่งในสาขาที่เก่าแก่ที่สุดของ คณิตศาสตร์ทุ่มเทให้กับการศึกษารูปร่างของวัตถุแต่ละชิ้น ความสัมพันธ์เชิงพื้นที่ระหว่างวัตถุกับคุณสมบัติของพื้นที่ที่ล้อมรอบวัตถุเหล่านั้น

แม้ว่าในตอนเริ่มต้น วินัยนี้เชื่อฟัง ตามชื่อของมัน การวัด ในแง่การปฏิบัติมากที่สุด เมื่อเวลาผ่านไป มนุษยชาติ เขาเข้าใจดีว่าแม้แต่นามธรรมที่ซับซ้อนที่สุดและการแสดงแทนก็สามารถแสดงออกมาในรูปเรขาคณิตได้

ด้วยเหตุนี้เองที่กิ่งก้านสาขามากมายจึงเกิดขึ้น จากมือของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และรูปแบบอื่นๆ ของการคำนวณ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสาขาที่เชื่อมโยงการแทนค่าทางเรขาคณิตกับนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่เป็นตัวเลขและพีชคณิต

เรขาคณิตเป็นสาขาพื้นฐานของคณิตศาสตร์ ซึ่งมีสาขาวิชามากมายเป็นพื้นฐาน (เช่น เทคนิคการวาดภาพ หรือเป็นเจ้าของ สถาปัตยกรรม) และทำหน้าที่เป็นส่วนเติมเต็มให้กับคนอื่น ๆ อีกมากมาย (เช่น ทางกายภาพ, กลศาสตร์, ดาราศาสตร์เป็นต้น) นอกจากนี้ มันยังก่อให้เกิดสิ่งประดิษฐ์มากมาย ตั้งแต่เข็มทิศและคัดลอก ไปจนถึงระบบกำหนดตำแหน่งทั่วโลก (GPS)

ประวัติเรขาคณิต

เรขาคณิตมีต้นกำเนิดมาจากอารยธรรมมนุษย์ยุคแรก ชาวบาบิโลนโบราณเป็นผู้ประดิษฐ์วงล้อและด้วยเหตุนี้จึงเป็นเรขาคณิตของวงกลม ด้วยเหตุผลนี้ พวกเขาจึงอาจเป็นคนแรกๆ ที่รับรู้ถึงศักยภาพอันไร้ขอบเขตของการศึกษาเรขาคณิต ซึ่งในไม่ช้าพวกเขาก็นำไปประยุกต์ใช้กับดาราศาสตร์

ชาวอียิปต์โบราณทำเช่นเดียวกันซึ่งปลูกฝังให้มากพอที่จะนำไปใช้ในงานสถาปัตยกรรมอันตระหง่านเนื่องจากเรขาคณิตและเลขคณิตในสมัยนั้น วิทยาศาสตร์ ในทางปฏิบัติอย่างเด่นชัด

นักประวัติศาสตร์ชาวกรีกหลายคน เช่น Herodotus (c. 484-c. 425 BC), Diodorus (c. 90 BC - c. 30 BC) และ Strabo (c. 63 BC - c 24 AD) ตระหนักถึงความสำคัญของมรดกทางเรขาคณิตของอียิปต์ และถือเป็นผู้สร้างวินัย อย่างไรก็ตาม เป็นชาวกรีกโบราณที่ให้รูปทรงเรขาคณิตเป็นทางการ ต้องขอบคุณแบบจำลองทางปรัชญาขั้นสูงของพวกเขา

สิ่งที่สำคัญเป็นพิเศษคือนักคณิตศาสตร์และนักเรขาคณิต Euclides (ค. 325 - ค. 265 ปีก่อนคริสตกาล) ซึ่งได้รับการยอมรับว่าเป็น "บิดาแห่งเรขาคณิต" ซึ่งเสนอระบบเรขาคณิตระบบแรกสำหรับการตรวจสอบผลลัพธ์ผ่านผลงานอันโด่งดังของเขา องค์ประกอบแต่งประมาณปี ๓๐๐ ก. ค. ในเมืองอเล็กซานเดรีย มีความแตกต่างระหว่างเครื่องบินเป็นครั้งแรก (สองมิติ) และ ช่องว่าง (สามมิติ).

ผลงานที่สำคัญอื่นๆ ในเรขาคณิตของยุคนั้น ได้แก่ อาร์คิมิดีส (ค. 287 - 212 ปีก่อนคริสตกาล) และอปอลโลนีอุสแห่งแปร์จ (ค. 262 - 190 ปีก่อนคริสตกาล) อย่างไรก็ตาม ในศตวรรษต่อมา การพัฒนาคณิตศาสตร์ได้ย้ายไปทางตะวันออก (โดยเฉพาะในอินเดีย และโลกมุสลิม) ซึ่งเรขาคณิตได้รับการพัฒนาควบคู่ไปกับ พีชคณิต และ ตรีโกณมิติเชื่อมโยงพวกเขากับ โหราศาสตร์ และดาราศาสตร์

ดังนั้นความสนใจในระเบียบวินัยกลับคืนสู่ตะวันตกเท่านั้นใน เรเนซองส์ ยุโรป ซึ่งมีการเพิ่มชื่อใหม่จำนวนมากในการศึกษาของเขา ซึ่งทำให้เกิดเรขาคณิตเชิงฉายภาพ และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เรขาคณิตคาร์ทีเซียน หรือ เรขาคณิตวิเคราะห์ผลงานของนักปรัชญาชาวฝรั่งเศส René Descartes (1596-1650) ซึ่งเป็นผู้นำเสนอวิธีการวิจัยทางเรขาคณิตแบบใหม่ที่ปฏิวัติและปรับปรุงความรู้ด้านนี้ให้ทันสมัย

นับจากนั้นเป็นต้นมา เรขาคณิตสมัยใหม่ก็เกิดขึ้นโดยมือของนักวิชาการผู้ยิ่งใหญ่ เช่น ชาวเยอรมัน Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Russian Nikolái Lobachevski (1792-1856), János Bolyai ฮังการี (1802-1860) และอีกมากมาย คนอื่น ๆ ที่สามารถแยกตัวออกจากสัจพจน์คลาสสิกของยุคลิดและพบสาขาวิชาใหม่: เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด

วัตถุประสงค์ของการศึกษาเรขาคณิต

เรขาคณิตทำงานได้ทั้งแบบสองมิติและสามมิติ

เรขาคณิตเกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของพื้นที่และโดยเฉพาะอย่างยิ่งกับรูปร่างและ ตัวเลข ที่อาศัยอยู่ ไม่ว่าจะเป็นสองมิติ (ระนาบ) หรือสามมิติ (ช่องว่าง) เช่น จุด เส้น ระนาบ รูปหลายเหลี่ยม รูปทรงหลายเหลี่ยมและอื่นๆ วัตถุประเภทนี้มีความเข้าใจในแง่ของการทำให้เป็นอุดมคติ กล่าวคือ การฉายภาพทางจิตของอวกาศ เพื่อถ่ายทอด (หรือไม่) ข้อสรุปของพวกเขาไปยังโลกของรูปธรรม

ประเภทเรขาคณิต

เรขาคณิตมีกิ่งก้านสาขาที่แตกต่างกันมากมาย และการจำแนกประเภทโดยทั่วไปตอบสนองต่อความสัมพันธ์ที่สร้างขึ้นด้วยสัจธรรมพื้นฐานห้าประการของยุคลิด ซึ่งมีเพียงสี่ข้อเท่านั้นที่ได้รับการแสดงให้เห็นอย่างกว้างขวางตั้งแต่สมัยโบราณ ในทางกลับกัน ข้อที่ห้าต้องได้รับการแก้ไขเพื่อให้เกิดตระกูลของรูปทรงต่างๆ

ดังนั้น เราต้องแยกแยะระหว่าง:

เรขาคณิตสัมบูรณ์ ซึ่งควบคุมโดยสัจพจน์สี่ประการแรกของยุคลิด

เรขาคณิตแบบยุคลิดซึ่งยอมรับสัจธรรมแบบยุคลิดที่ห้าเป็นสัจพจน์ ในทางกลับกัน ทำให้เกิดรูปแบบที่แตกต่างกันสองแบบ: เรขาคณิตของระนาบ (สองมิติ) และเรขาคณิตของอวกาศ (สามมิติ) ตามการจำแนกประเภทกรีกโบราณ .

เรขาคณิตแบบคลาสสิก ซึ่งเป็นผลที่ได้จากเรขาคณิตแบบยุคลิด

เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดซึ่งเกิดขึ้นในศตวรรษที่ 19 เป็นรูปทรงเรขาคณิตที่รวบรวมระบบเรขาคณิตที่แตกต่างกันซึ่งอยู่ไกลจากสัจพจน์ที่ห้าของยุคลิด อย่างไรก็ตาม ยอมรับสี่ประการแรกหรือบางส่วนของพวกเขา ในหมู่พวกเขาคือ:

• เรขาคณิตรูปวงรีหรือรีมันเนียนซึ่งเป็นไปตามสัจธรรมสี่ประการแรกของยุคลิดและนำเสนอแบบจำลองของความโค้งคงที่และค่าบวก
• เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกหรือโลบาชอฟสเกียน ซึ่งเป็นไปตามสัจพจน์สี่ประการแรกของยุคลิด และนำเสนอแบบจำลองของความโค้งคงที่และเชิงลบ
• เรขาคณิตทรงกลม ซึ่งเข้าใจว่าเป็นเรขาคณิตของพื้นผิวสองมิติของทรงกลม (แทนที่จะเป็นระนาบตรง) เป็นแบบจำลองทางเรขาคณิตวงรีที่เรียบง่ายกว่า
• เรขาคณิตจำกัด ซึ่งระบบเป็นไปตามจุดจำนวนจำกัด (ไม่เหมือนกับเรขาคณิตอนันต์ของยุคลิด) และแบบจำลองนี้ใช้เฉพาะในระนาบจำกัด เรขาคณิต จำกัด มีสองประเภท: affine และ projective