เราอธิบายว่าระบบการนับคืออะไรและเราศึกษาลักษณะของระบบแต่ละประเภทผ่านตัวอย่างจากวัฒนธรรมที่แตกต่างกัน
ระบบตัวเลขคืออะไร?
ระบบตัวเลขคือชุดของสัญลักษณ์และกฎซึ่งแสดงจำนวนอ็อบเจ็กต์ในตัวเลขได้ ชุดนั่นคือสามารถแสดงตัวเลขที่ถูกต้องทั้งหมดได้ ซึ่งหมายความว่าทุกระบบตัวเลขมีชุดสัญลักษณ์ที่กำหนดและจำนวนจำกัด รวมทั้งชุดกฎที่กำหนดและชุดจำกัดที่จะรวมเข้าด้วยกัน
ระบบการนับเป็นหนึ่งในสิ่งประดิษฐ์หลักของมนุษย์ในสมัยโบราณ และอารยธรรมโบราณแต่ละแห่งมีระบบของตัวเอง ซึ่งเกี่ยวข้องกับวิธีการมองโลก นั่นคือ กับวัฒนธรรมของมัน
โดยทั่วไป ระบบการนับสามารถแบ่งได้เป็น 3 ประเภท ดังนี้
- ระบบที่ไม่ใช่ตำแหน่ง พวกมันคือสัญลักษณ์ที่แต่ละสัญลักษณ์สอดคล้องกับค่าคงที่ โดยไม่คำนึงถึงตำแหน่งที่มันครอบครองภายในตัวเลข (หากปรากฏก่อน ไปด้านใดด้านหนึ่งหรือหลังจากนั้น)
- ระบบกึ่งตำแหน่ง เป็นค่าที่ค่าของสัญลักษณ์มีแนวโน้มที่จะคงที่ แต่สามารถแก้ไขได้ในสถานการณ์เฉพาะของลักษณะที่ปรากฏ (แม้ว่าจะมีแนวโน้มที่จะเป็นข้อยกเว้นมากกว่า) เป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นระบบกลางระหว่างตำแหน่งและไม่ใช่ตำแหน่ง
- ระบบตำแหน่งหรือระบบถ่วงน้ำหนักพวกมันคือค่าที่กำหนดมูลค่าของสัญลักษณ์ทั้งจากการแสดงออกของมันเองและจากสถานที่ที่มันอยู่ภายในจำนวน ความสามารถในการมีค่ามากหรือน้อยหรือแสดงค่าที่แตกต่างกันขึ้นอยู่กับตำแหน่งที่มันตั้งอยู่.
นอกจากนี้ยังสามารถจำแนกระบบการนับตามจำนวนที่ใช้เป็นพื้นฐานสำหรับการคำนวณ ตัวอย่างเช่น ระบบตะวันตกในปัจจุบันเป็นทศนิยม (เนื่องจากฐานของมันคือ 10) ในขณะที่ระบบการนับ Sumerian เป็นแบบ sexagesimal (ฐานของมันคือ 60)
ระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่ง
ระบบจำนวนที่ไม่ใช่ตำแหน่งเป็นระบบแรกที่มีอยู่และมีพื้นฐานดั้งเดิมที่สุด ได้แก่ นิ้ว ปมบนเชือก หรือวิธีการบันทึกอื่นๆ สำหรับการประสานชุดตัวเลข ตัวอย่างเช่น หากคุณนับนิ้วมือข้างเดียว คุณสามารถนับได้ด้วยมือเดียว
ในระบบเหล่านี้ ตัวเลขมีค่าของตัวเอง โดยไม่คำนึงถึงตำแหน่งของมันในห่วงโซ่ของสัญลักษณ์ และเพื่อสร้างสัญลักษณ์ใหม่ ค่าของสัญลักษณ์จะต้องเพิ่มเข้าไป (ด้วยเหตุนี้จึงเรียกอีกอย่างว่าระบบการเติม) ระบบเหล่านี้เรียบง่าย ง่ายต่อการเรียนรู้ แต่ต้องใช้สัญลักษณ์จำนวนมากเพื่อแสดงปริมาณมาก ดังนั้นจึงไม่ได้มีประสิทธิภาพทั้งหมด
ตัวอย่างของระบบประเภทนี้ ได้แก่
- ระบบเลขอียิปต์ เกิดขึ้นประมาณสหัสวรรษที่สามก่อนคริสต์ศักราช ค. มีพื้นฐานอยู่บนหลักสิบ และใช้แล้ว อักษรอียิปต์โบราณ แตกต่างกันในแต่ละลำดับของหน่วย: หนึ่งสำหรับหน่วย หนึ่งสำหรับสิบ หนึ่งสำหรับร้อยและอื่น ๆ จนถึงล้าน
- ระบบเลขแอซเท็ก ตามแบบฉบับของจักรวรรดิเม็กซิโก มีฐาน 20 ฐานและใช้วัตถุเฉพาะเป็นสัญลักษณ์: ธงเท่ากับ 20 หน่วย ขนนกหรือขนสองสามเส้นเท่ากับ 400 ถุงหรือกระสอบเท่ากับ 8,000 อื่นๆ
- ระบบเลขกรีกโดยเฉพาะชาวโยนก ถูกคิดค้นและเผยแพร่ในทะเลเมดิเตอร์เรเนียนตะวันออกตั้งแต่ศตวรรษที่สี่ก่อนคริสต์ศักราช C. แทนที่ระบบ acrophonic ที่มีอยู่ก่อน เป็นระบบตัวอักษร ซึ่งใช้ตัวอักษรแทนตัวเลข โดยจับคู่ตัวอักษรกับตำแหน่งสำคัญในตัวอักษร (A=1, B=2) ดังนั้น ตัวเลขแต่ละตัวตั้งแต่ 1 ถึง 9 จึงมีตัวอักษรหนึ่งตัว แต่ละตัวมีตัวอักษรเฉพาะอีกสิบตัว แต่ละร้อยตัว จนกระทั่งมีการใช้ตัวอักษร 27 ตัว: ตัวอักษรกรีก 24 ตัวและอักขระพิเศษสามตัว
ระบบเลขกึ่งตำแหน่ง
ระบบกึ่งตำแหน่งตอบสนองความต้องการของเศรษฐกิจที่พัฒนาแล้ว
ระบบเลขกึ่งตำแหน่งรวมแนวคิดของค่าคงที่ของสัญลักษณ์แต่ละตัวเข้ากับกฎการกำหนดตำแหน่งที่แน่นอน เพื่อให้สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นระบบไฮบริดหรือแบบผสมระหว่างตำแหน่งและไม่ใช่ตำแหน่ง พวกเขาชอบสิ่งอำนวยความสะดวกเพื่อแสดงตัวเลขจำนวนมาก จัดการลำดับของตัวเลขและขั้นตอนที่เป็นทางการ เช่น การคูณ ดังนั้นจึงแสดงถึงความก้าวหน้าในความซับซ้อนเมื่อเทียบกับระบบที่ไม่มีตำแหน่ง
ในวงกว้าง การเกิดขึ้นของระบบกึ่งตำแหน่งสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นการเปลี่ยนผ่านไปสู่แบบจำลองการนับที่มีประสิทธิภาพมากขึ้น ซึ่งสามารถตอบสนองความต้องการที่ซับซ้อนมากขึ้นของระบบเศรษฐกิจที่พัฒนาแล้ว เช่น อาณาจักรอันยิ่งใหญ่ในสมัยโบราณ
ตัวอย่างของรูปแบบการนับเลขนี้คือ:
- ระบบเลขโรมัน. สร้างขึ้นในสมัยโบราณของโรมัน ยังคงมีอยู่จนถึงทุกวันนี้ ในระบบนี้ ตัวเลขถูกสร้างขึ้นโดยใช้ตัวพิมพ์ใหญ่บางตัวของตัวอักษรละติน (I = 1, V = 5, X = 10, L = 50 เป็นต้น) ซึ่งค่าคงที่และดำเนินการตามการบวกและการลบ ขึ้นอยู่กับ ที่สัญลักษณ์ปรากฏขึ้นหากสัญลักษณ์อยู่ทางด้านซ้ายของสัญลักษณ์ที่มีมูลค่าเท่ากันหรือน้อยกว่า (เช่นใน II = 2 หรือ XI = 11) ควรเพิ่มค่าทั้งหมด ในขณะที่หากสัญลักษณ์อยู่ทางด้านซ้ายของสัญลักษณ์ที่มีมูลค่าสูงกว่า (เช่นใน IX = 9 หรือ IV = 4) จะต้องถูกลบออก
- ระบบเลขจีนคลาสสิก ต้นกำเนิดของมันมีอายุย้อนไปถึงประมาณ 1500 ปีก่อนคริสตกาล C. และเป็นระบบที่เข้มงวดมากในการแสดงตัวเลขในแนวตั้งผ่านสัญลักษณ์ของตนเอง โดยผสมผสานสองระบบที่แตกต่างกัน: ระบบหนึ่งสำหรับการเขียนภาษาพูดและในชีวิตประจำวัน และอีกระบบสำหรับบันทึกทางการค้าหรือการเงิน เป็นระบบทศนิยมที่มีเครื่องหมายต่างกัน 9 ตัว ซึ่งสามารถนำมาวางติดกันเพื่อเพิ่มค่า บางครั้งใส่เครื่องหมายพิเศษหรือสลับตำแหน่งของเครื่องหมายเพื่อระบุการดำเนินการเฉพาะ
ระบบเลขตำแหน่ง
ระบบการนับปัจจุบันมาจากระบบฮินดู-อารบิกระบบเลขตำแหน่งเป็นระบบตัวเลขที่ซับซ้อนและมีประสิทธิภาพมากที่สุดในสามประเภทที่มีอยู่ การรวมกันของค่าที่เหมาะสมของสัญลักษณ์และค่าที่กำหนดโดยตำแหน่งช่วยให้สามารถสร้างตัวเลขที่สูงมากโดยใช้อักขระเพียงไม่กี่ตัว เพิ่มและ/หรือคูณมูลค่าของแต่ละรายการ ซึ่งทำให้ระบบมีความอเนกประสงค์และทันสมัยมากขึ้น
โดยทั่วไป ระบบตำแหน่งจะใช้ชุดสัญลักษณ์ตายตัว และด้วยการผสมผสานกัน ตัวเลขที่เป็นไปได้ทั้งหมดจึงถูกสร้างขึ้น โดยไม่จำเป็นต้องสร้างสัญญาณใหม่ แต่โดยการเปิดคอลัมน์สัญลักษณ์ใหม่ แน่นอนว่านี่หมายความว่าข้อผิดพลาดในสตริงจะเปลี่ยนมูลค่ารวมของตัวเลขด้วยเช่นกัน
ตัวอย่างแรกของระบบประเภทนี้เกิดขึ้นภายในอาณาจักรที่ยิ่งใหญ่หรือวัฒนธรรมโบราณที่มีความต้องการมากที่สุดในด้านวัฒนธรรมและการค้า เช่น จักรวรรดิบาบิโลนในสหัสวรรษที่สองก่อนคริสต์ศักราช ค. ตัวอย่างของระบบการนับประเภทนี้ ได้แก่
- ระบบทศนิยมที่ทันสมัยด้วยตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 9 เท่านั้น จะช่วยให้คุณสร้างตัวเลขใดๆ ก็ได้ โดยเพิ่มคอลัมน์ที่มีค่าเพิ่มเมื่อคุณเลื่อนไปทางขวา โดยมีสิบเป็นฐาน ดังนั้น การเพิ่มสัญลักษณ์เป็น 1 เราสามารถสร้าง 10, 195, 1958 หรือ 19589 ได้ สิ่งสำคัญคือต้องชี้แจงว่าสัญลักษณ์ที่ใช้มาจากตัวเลขฮินดู-อารบิก
- ระบบเลขฮินดู-อารบิก คิดค้นโดยปราชญ์โบราณของอินเดียและต่อมาได้รับมรดกโดยชาวอาหรับมุสลิม มันมาถึงตะวันตกผ่าน Al-Andalus และจบลงด้วยการแทนที่ เลขโรมัน แบบดั้งเดิม. ในระบบนี้ คล้ายกับทศนิยมสมัยใหม่ หน่วยตั้งแต่ 0 ถึง 9 จะแสดงด้วยร่ายมนตร์เฉพาะ ซึ่งแทนค่าของแต่ละรายการโดยใช้เส้นและมุม ระบบการทำงานของระบบนี้โดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับระบบทศนิยมตะวันตกสมัยใหม่
- ระบบเลขมายา มันถูกสร้างขึ้นเพื่อวัดเวลาแทนที่จะทำธุรกรรมทางคณิตศาสตร์และฐานของมันคือ vigesimal และสัญลักษณ์ของมันสอดคล้องกับปฏิทินของอารยธรรมพรีโคลัมเบียน ตัวเลขที่จัดกลุ่ม 20 x 20 จะแสดงด้วยสัญญาณพื้นฐาน (ลายจุดและหอยทากหรือเปลือกหอย) และเพื่อเลื่อนไปยังคะแนนถัดไป จะมีการเพิ่มจุดที่ระดับการเขียนถัดไป นอกจากนี้ มายัน พวกเขาเป็นคนกลุ่มแรกที่ใช้เลขศูนย์